Ví dụ mở đầu: Một hộp bi có 3 viên bi màu đỏ và 7 bi viên màu xanh. Bốc ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Hãy dự đoán xem viên bi bốc ra có màu gì?
Để định lượng khả năng xảy ra của các biến cố, Toán học đã đưa ra khái niệm xác suất.
Khái niệm xác suất: Xác suất của biến cố $A$, kí hiệu $P(A)$, là con số đo lường khả năng xảy ra của biến cố $A$
1. Định nghĩa cổ điển
Xét các phép thử có hữu hạn kết quả đồng khả năng, khi đó:
$P(A) = \displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}$
Trong đó: $n(A)$ là số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ và $n(\Omega)$ là số kết quả của phép thử
Ví dụ 1: Gieo một con súc sắc, tính xác suất xuất hiện mặt chẵn?
Giải: $n(\Omega) = 6, n(A) = 3, P(A) = \frac{3}{6} = 0,5$
Ví dụ 2: Gieo hai con súc sắc, tính xác xuất để tổng số chấm trên 2 mặt xuất hiện bằng 9?
Giải: $n(\Omega)= 36$
$A=\{ (3,6), (6,3), (4,5),(5,4) \}$, $n(A)=4$
$P(A) = \frac{4}{36}$
Ví dụ 3: Một kiện hàng có 5 sản phẩm loại 1, 7 sản phẩm loại 2 và 8 sản phẩm loại 3. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ kiện hàng đó.
a) Tính xác suất để có 4 sản phẩm cùng loại?
b) Tính xác suất để có ít nhất 2 sản phẩm loại 1?
Giải: $n(\Omega)=C^4_{20}$
a) Gọi $A$: “có 4 sản phẩm cùng loại”
$n(A) = C^4_5+C^4_7+C^4_8 = ?$
b) Gọi biến cố $B$: “có ít nhất 2 sản phẩm loại 1”
Có 3 trường hợp:
Do đó $n(B)=….$
2. Định nghĩa thống kê
Quan sát phép thử T n lần, giả sử có k lần xuất hiện biến cố $A$. Khi đó:
3. Các tính chất
4. Nguyên lí xác suất nhỏ
Nếu một biến cố $A$ có xác suất rất nhỏ ($P(A) \leq 0.05$) thì có thể cho rằng $A$ không xảy ra.
Ví dụ: Rút ngẫu nhiên 1 lá bài. Tính xác suất rút được lá 2 cơ?
Rút ngẫu nhiên 1 lá bài: $n(\Omega)=C^1_{52}=52$
Xác suất rút được lá 2 cơ: $P(A) = 1/52 = 0,0019$
Như vậy có thể xem biến cố rút được lá 2 cơ không xảy ra, xác suất mắc sai ầm $\alpha< 0,0019$, độ tin cậy
$\gamma =1-\alpha >98\%$