Bài 1. Ba người A,B,C lần lượt tung một đồng xu theo thứ tự đó. Trò chơi kết thúc khi có một người tung ra mặt ngữa và người đó giành chiến thắng. Tìm xác suất thắng của mỗi người.
Giải:
Để tính xác suất thắng của người A, ta xét các trường hợp sau:
- Người A thắng ở vòng chơi thứ 1: $\frac{1}{2}$
- Người A thắng ở vòng chơi thứ 2: $\frac{1}{8}.\frac{1}{2}$
- Người A thắng ở vòng chơi thứ 3: $\frac{1}{8}.\frac{1}{8}.\frac{1}{2}$,..
Vậy xác suất để người A thắng là: $P(A)=\displaystyle\frac{1}{2}(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^2}+…)=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{4}{7}$
Lập luận tương tự, ta có xác suất để người B giành chiến thắng là:
$P(B)=\displaystyle\frac{1}{4}(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^2}+…)=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{2}{7}$
Xác suất để người C thắng là:
$P(C)=\displaystyle\frac{1}{8}(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^2}+…)=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{1}{7}$
Bài 2. A có một đồng xu mà khi gieo thì xác suất xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{3}$ và B có một đồng xu mà khi gieo thì xác suất xuất hiện mặt ngửa là là $\frac{2}{5}$. A và B lần lượt gieo đồng xu của mình đến khi có người gieo được mặt ngửa trước thì sẽ thắng cuộc. Tính xác suất để A giành chiến thắng?
Giải:
Giả sử A thắng khi gieo đồng xu ở lượt gieo thứ $n$, khi đó B gieo đồng xu ở lượt thứ $n-1$ (do A là người gieo trước).
Như vậy ở lượt thứ $n$ thì A gieo được mặt ngửa, còn $n-1$ lượt trước đó A gieo được mặt sấp. Khi đó:
Xác suất để A thắng ở lượt gieo thứ $n$ là:
$(1-\frac{1}{3})^{n-1}.\frac{1}{3}.(1-\frac{2}{5})^{n-1} = (\frac{2}{3})^{n-1}.\frac{1}{3}.(\frac{3}{5})^{n-1} = \frac{1}{3}.(\frac{2}{5})^{n-1}$
Xác suất để A giành chiến thắng là:
$\displaystyle\sum_n^{+\infty}\frac{1}{3}\Big(\frac{2}{5}\Big)^{n-1} = \frac{1}{3}\Big(1+\frac{2}{5}+\Big(\frac{2}{5}\Big)^2+\Big(\frac{2}{5}\Big)^3+…\Big)$
$\displaystyle=\frac{1}{3}\lim\frac{1-(\frac{2}{5})^n}{1-\frac{2}{5}} = \frac{5}{9}$
